纯系统全家福：从 MOD 11-2 到 MOD 1271-36（GB/T 17710 续一）
上一篇（GB/T 17710 解读）把校验字符的来龙去脉讲清楚了，并手算了一遍最常用的 MOD 11-2 和 MOD 97-10。这一篇，我们把 GB/T 17710 里的"纯系统"一次讲完——它们都只有一个校验字符（或两位），公式却高度统一，看懂一个就看懂一片。
一、纯系统的统一公式
所有纯系统玩的都是同一件事：给数据算一个加权和，再对模数 M 取模，让"数据 + 校验字符"整串满足一个固定关系。
设数据为 a₁ a₂ … aₙ（从左到右），从最右一位起，权重依次是 r⁰, r¹, r², …（r 是基数）。加权和：
S = Σ aᵢ · r^(i-1) （i 从最右一位数起）校验字符 C 让"完整串"满足：
S_full ≡ 1 (mod M)M 是模数，r 是基数，字符集和校验位数各系统不同。GB/T 17710 给出的纯系统有五个：
- MOD 11-2：M=11, r=2，数字 0-9（10 用
X表示），1 位校验 - MOD 37-2：M=37, r=2，0-9、A-Z 加
*，1 位校验 - MOD 97-10：M=97, r=10，数字，2 位校验
- MOD 661-26：M=661, r=26，纯字母 A-Z，2 位校验
- MOD 1271-36：M=1271, r=36，0-9、A-Z，2 位校验
二、MOD 11-2 回顾（详见上篇）
数据 "1234567"，从右起权重 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9，数据加权和是 153。把校验字符 C 接在最右边（权重最低，为 1），整串加权和要求 ≡ 1 (mod 11)：
加权和 = C×1 + 7×2 + 6×4 + 5×8 + 4×5 + 3×10 + 2×9 + 1×7 = C + 153
153 mod 11 = 10，所以 C + 10 ≡ 1 → C = 2完整串为 "12345672"，代入验证加权和 = 155，155 mod 11 = 1，通过。
三、MOD 37-2：能装字母数字的版本
MOD 11-2 只能吃数字。MOD 37-2 把字符集扩到 **0-9、A-Z、再加 ***（共 37 个，正好模 37），仍然只挂 1 位校验字符。字母的取值规则：数字就是它本身，A=10、B=11、…、Z=35，*=36。
手算一遍，取数据 "7K9"：
字符（右→左）: 9 K 7
字符取值: 9 20 7
权重(2^n mod 37): 1 2 4
乘积: 9 40 28加权和 N = 9 + 40 + 28 = 77。校验字符 C 满足 (1 − 2×77) mod 37：
2×77 = 154，154 mod 37 = 6
C = (1 − 6) mod 37 = 32
32 在字母区：32 − 10 = 22 → 第 22 个字母 = W所以校验字符是 W，完整串 "7K9W"。代入整串按同样框架重算，加权和 mod 37 = 1，通过。当你标识里需要混着字母和数字、又只肯多占 1 位时，它就是 MOD 11-2 的替身。
四、MOD 97-10 回顾（详见上篇）
IBAN（国际银行账号）用的就是它。模数 97、基数 10，挂 2 位校验。公式：把数据当十进制整数 N，两位校验码 C 满足 (100×N + C) mod 97 = 1，即 C = (1 − 3N) mod 97（结果两位补零）。
数据 "123456" → C = 76，完整串 "12345676"，12345676 mod 97 = 1，通过。两位校验比一位多扛了一截错误，所以金融账号偏爱它。
五、MOD 661-26：纯字母的双校验
前面都是"数字或字母数字"。MOD 661-26 反过来，只认纯字母 A-Z（26 个，模 661，基数 26），挂 2 位字母校验。手算一遍，取数据 "XKCD"（字母取值 X=23, K=10, C=2, D=3）：
字符（右→左）: D C K X
字符取值: 3 2 10 23
权重(26^n): 1 26 676 17576
乘积: 3 52 6760 404248加权和 N = 3 + 52 + 6760 + 404248 = 411063。两位校验由 (1 − 26²×N) mod 661 算得，再按 26 进制拆成两个字母：高位 20、低位 5 → U（20）+ F（5）。
所以校验字符是 UF，完整串 "XKCDUF"，代入验证加权和 ≡ 1 (mod 661)，通过。纯字母场景（比如某些内部代号、序列号）用它最干净——校验位也是字母，整串看着统一。
六、MOD 1271-36：字母数字的双校验
MOD 1271-36 是 MOD 37-2 的"双位加强版"：字符集 0-9、A-Z（36 个，模 1271，基数 36），挂 2 位校验。手算一遍，取数据 "B4D"（取值 B=11, 4=4, D=13）：
字符（右→左）: D 4 B
字符取值: 13 4 11
权重(36^n): 1 36 1296
乘积: 13 144 14256加权和 N = 13 + 144 + 14256 = 14413。两位校验由 (1 − 36²×N) mod 1271 算得，按 36 进制拆成两个字符：高位 17、低位 28 → H（17）+ S（28）。
所以校验字符是 HS，完整串 "B4DHS"，代入验证加权和 ≡ 1 (mod 1271)，通过。字母数字都要、还想多扛点错误时，它是 MOD 37-2 的升级选择。
七、怎么选
- 只用数字、1 位够 → MOD 11-2
- 数字 + 字母、1 位 → MOD 37-2
- 只用数字、要更强 → MOD 97-10（2 位）
- 纯字母、要 2 位 → MOD 661-26
- 数字 + 字母、要 2 位 → MOD 1271-36
一句话记住：纯系统 = 一个模数 + 一个基数 + 加权和取模，校验字符数量由模数大小决定（模不大就 1 位，模大能 2 位）。NDI 标识码落在"1 位校验字符"这一类，用的就是纯系统思路。
下一篇讲"混合系统"——它用两个模数做"乘积折叠"，让校验字符永远留在原生字符集里（数字就还是数字，字母就还是字母，绝不冒出 X 这种补字符）。